آشنایی با اقتصاد سنج با r

این کتاب در حال بررسی است. ما می خواهیم بازخورد شما کتاب را برای شما و سایر دانش آموزان بهتر کند. ممکن است با انتخاب آن با مکان نما ، برخی از متن ها را حاشیه نویسی کنید و سپس روی منوی پاپ آپ کلیک کنید. همچنین می توانید حاشیه نویسی های دیگران را مشاهده کنید: روی گوشه سمت راست بالای صفحه کلیک کنید

5. 2 فاصله اطمینان برای ضرایب رگرسیون

همانطور که از قبل می دانیم ، برآوردهای ضرایب رگرسیون ( beta_0 ) و ( beta_1 ) در معرض عدم اطمینان نمونه برداری قرار دارند ، به فصل 4 مراجعه کنید. بنابراین ، ما هرگز دقیقاً ارزش واقعی این پارامترها را از داده های نمونه تخمین نمی زنیمیک برنامه تجربیبا این حال ، ما ممکن است فواصل اطمینان را برای رهگیری و پارامتر شیب بسازیم.

فاصله اطمینان (95 ٪ ) برای ( beta_i ) دارای دو تعریف معادل است:

• فاصله مجموعه ای از مقادیر است که برای آن یک آزمون فرضیه به سطح (5 ٪ ) قابل رد نیست.
• فاصله از (95 ٪ ) برای حاوی مقدار واقعی ( beta_i ) دارد. بنابراین در (95 ٪ ) از تمام نمونه هایی که می توان ترسیم کرد ، فاصله اطمینان مقدار واقعی ( beta_i ) را پوشش می دهد.

ما همچنین می گوییم که فاصله دارای سطح اطمینان (95 ٪ ) است. ایده فاصله اطمینان در مفهوم کلیدی 5. 3 خلاصه شده است.

مفهوم کلیدی 5. 3

فاصله اطمینان برای ( beta_i )

تصور کنید که می توانید تمام نمونه های تصادفی ممکن را با اندازه داده شده ترسیم کنید. بازه ای که حاوی مقدار واقعی ( beta_i ) در (95 ٪ ) از همه نمونه ها توسط عبارت داده شده است

[ text_^ = سمت چپ [ hat_i - 1. 96 بار Se ( hat_i) ، ، hat_i + 1. 96 times se ( hat_i) درست].]

به طور معادل ، این بازه می تواند به عنوان مجموعه فرضیه های تهی دیده شود که برای آن یک آزمون فرضیه دو طرفه (5 ٪) رد نمی شود.

مطالعه شبیه سازی: فواصل اطمینان

برای درک بهتر از فواصل اطمینان ، یک مطالعه شبیه سازی دیگر انجام می دهیم. در حال حاضر ، فرض کنید که ما نمونه زیر از مشاهدات (n = 100 ) را در یک متغیر واحد (y ) داریم

[y_i overset mathcal (5،25) ، i = 1 ، dots ، 100. ]

 # بذر را برای تکرارپذیری تنظیم کنید set. seed(4) # داده های نمونه را تولید و ترسیم و ترسیم کنید Y با توجه به(n = 100, میانگین = 5, SD = 5) طرح(Y ، PCH = 19, col = "SteelBlue")

فرض می کنیم که داده ها توسط مدل تولید می شوند

[y_i = mu + epsilon_i ]

جایی که ( mu ) یک ثابت ناشناخته است و می دانیم که ( epsilon_i overset mathcal (0،25) ). در این مدل ، برآوردگر OLS برای ( mu ) توسط [ hat mu = overline = frac sum_^n y_i ، ] داده می شود ، یعنی میانگین نمونه (y_i ). بیشتر آن را نگه می دارد

(به فصل 2 مراجعه کنید) یک نمونه بزرگ (95 ٪ ) فاصله اطمینان برای ( mu ) توسط

محاسبه این بازه در آن بسیار آسان استRبا دست. قطعه کد زیر یک بردار نامگذاری شده حاوی مرزهای فاصله تولید می کند:

 بانوشت(cilower = منظور داشتن(y)- 1. 96 * 5 / 10, ciupper = منظور داشتن(y)+ 1. 96 * 5 / 10) #>کلوپ #>[1 ،] 4. 502625 6. 462625

با دانستن اینکه ( mu = 5 ) می بینیم که برای داده های مثال ما ، فاصله اطمینان مقدار واقعی را پوشش می دهد.

برخلاف نمونه های دنیای واقعی ، می توانیم از آن استفاده کنیمRبرای درک بهتر از فواصل اطمینان با نمونه برداری از داده ها ، تخمین ( mu ) و محاسبه فاصله اطمینان برای ( mu ) مانند (5. 1).

روند کار به صورت زیر است:

• ما بردارها را آغاز می کنیمپایینوتفوقانیکه در آن محدودیت های فاصله شبیه سازی شده ذخیره می شوند. ما می خواهیم فواصل (10000 ) را شبیه سازی کنیم تا هر دو بردار این طول را داشته باشند.
• ما از a استفاده می کنیمبرای()حلقه به نمونه (100 ) مشاهدات از توزیع ( Mathcal (5،25) ) توزیع و محاسبه ( hat mu ) و همچنین مرزهای فاصله اطمینان در هر تکرار حلقه.
• در آخر ما می پیوندیمپایینوتفوقانیدر یک ماتریس

 # بذر را تنظیم کنید set. seed(1) # بردارهای اولیه از مرزهای فاصله پایین و بالا پایینعددی(10000) فوقانیعددی(10000) # نمونه گیری حلقه / تخمین / CI برای(منin 1:10000) Y با توجه به(100, میانگین = 5, SD = 5) پایین [i]منظور داشتن(y)- 1. 96 * 5 / 10 فوقانی [i]منظور داشتن(y)+ 1. 96 * 5 / 10 > # به بردارهای محدوده فاصله در یک ماتریس بپیوندید سیسبانوشت(پایین ، بالا)

با توجه به مفهوم کلیدی 5. 3 ما انتظار داریم که کسری از فواصل شبیه سازی شده (10000 ) ذخیره شده در ماتریسسیسکه حاوی مقدار واقعی ( mu = 5 ) باید تقریباً (95 ٪ ) باشد. ما به راحتی می توانیم این کار را با استفاده از اپراتورهای منطقی بررسی کنیم.

 منظور داشتن(CIS [،1]  5 & 5 CIS [،2]) #>[1] 0. 9487

شبیه سازی نشان می دهد که کسری از فواصل پوشش ( mu = 5 ) ، یعنی آن فواصل زمانی که (H_0: mu = 5 ) رد نمی شوند نزدیک به ارزش نظری (95 ٪ ).

بگذارید یک طرح از اولین فواصل اعتماد به نفس شبیه سازی شده (100 ) ترسیم کنیم و مواردی را که مقدار واقعی ( mu ) را پوشش نمی دهند ، نشان دهیم. ما این کار را از طریق خطوط افقی انجام می دهیم که نشان دهنده فواصل اطمینان در بالای یکدیگر است.

 # فواصل زمانی را که MU را پوشش نمی دهد شناسایی کنید # (4 فواصل از 100) شناسهکدام(!(CIS [1:100, 1]  5 & 5 CIS [1:100, 2])) # طرح را اولیه کنید طرح(0, xlim = c(3, 7), ylim = c(1, 100), ylab = "نمونه", xlab = اصطلاح(MU) ، اصلی = "فاصله اطمینان") # بردار رنگ را تنظیم کنید رنگهرزه(خاکستری(0.6), 100) رنگ [شناسه] "قرمز" # خط مرجع را در MU = 5 ترسیم کنید فلاین(v = 5, lty = 2) # میله های افقی را به نمایندگی از CIS اضافه کنید برای(جin 1:100) خط(c(CIS [J ،1] ، CIS [J ،2]), c(J ، J) ، col =رنگ [j] ، LWD = 2) >

برای اولین (100) نمونه، فرضیه صفر واقعی در چهار مورد رد می شود بنابراین این فواصل (mu=5) را پوشش نمی دهند. ما فواصلی را که منجر به رد قرمز تهی می شود را مشخص کرده ایم.

اجازه دهید اکنون به مثال نمرات آزمون و اندازه کلاس ها برگردیم. مدل رگرسیون از فصل 4 در ذخیره شده استمدل_خطی. یک راه آسان برای بدست آوردن (95\%) فواصل اطمینان برای (x08eta_0) و (x08eta_1), ضرایب در(رهگیری)وتSTR، استفاده از تابع استconfint(). ما فقط باید یک شی مدل متناسب را به عنوان ورودی برای این تابع ارائه کنیم. سطح اطمینان به طور پیش فرض روی (95\%) تنظیم شده است، اما می توان با تنظیم آرگومان آن را تغییر دادمرحله، دیدن? محدوده.

 # محاسبه فاصله اطمینان 95% برای ضرایب در "مدل_خطی" محدود کردن(مدل_خطی) #>2. 5 % 97. 5 % #>(رهگیری) 680. 32312 717. 542775 #>ST R-3. 2229 8-1. 336636

اجازه دهید بررسی کنیم که آیا محاسبه همانطور که انتظار داریم برای (x08eta_1) انجام شود، ضریب رویSTR.

 # فاصله اطمینان 95% را برای ضرایب در "مدل_خطی" با دست محاسبه کنید lm_summخلاصه(مدل_خطی) c("پایین تر"= lm_summ$ضریب[2,1] - qt(0. 975, df =lm_summ$df[2]) *lm_summ$ضریب[2, 2], "بالا"= lm_summ$ضریب[2,1] + qt(0. 975, df =lm_summ$df[2]) *lm_summ$ضریب[2, 2]) #>بالا پایین  #>-3. 22298 0-1. 336636

کران بالا و پایین بر هم منطبق است. ما از کوانتیل (0. 975) توزیع (t_) استفاده کرده ایم تا نتیجه دقیق گزارش شده توسطمحدود کردن. بدیهی است که این بازه حاوی مقدار صفر نیست که همانطور که قبلاً در قسمت قبل دیدیم منجر به رد فرضیه صفر (x08eta_ = 0) می شود.